Théorème de Buchdahl

Le théorème de Buchdahl (en anglais : Buchdahl theorem) est le théorème qui énonce qu'en relativité générale, la compacité maximale d'un objet de fluide parfait, à symétrie sphérique et statique est : , où et sont respectivement la masse et le rayon de l'objet et où et sont respectivement la constante gravitationnelle et la vitesse de la lumière dans le vide[1]. Le rayon est dit rayon de Buchdahl[2]. Ce théorème montre qu'en relativité générale, une boule de rayon fixé ne peut contenir qu'une masse limitée[3],[4]. Un énoncé alternatif de ce théorème est que le décalage gravitationnel vers le rouge depuis la surface d'une étoile statique ne peut être supérieur à 2[4],[5],[6]. Un corollaire de ce théorème est qu'en relativité générale, il existe un écart (gap) de compacité entre une étoile de fluide parfait et un trou noir dont la compacité est [1].

Historique

En , Karl Schwarzschild (-) publie successivement[7],[8] deux métriques, solutions exactes de l'équation tensorielle fondamentale de la relativité générale d'Albert Einstein[9]. Ensemble, elles permettent de modéliser le champ gravitationnel à l'extérieur, à la surface et à l'intérieur d'une étoile telle que le Soleil. L'étoile est modélisée comme une boule de fluide parfait à densité constante, c'est-à-dire incompressible. La métrique externe s'applique à l'extérieur de l'étoile[9] ; la métrique interne, à l'intérieur de celle-ci[9]. Les deux métrique sont raccordables à la surface de l'étoile. Schwarzschild met en évidence que le rayon de l'étoile doit être supérieur à 9⁄8 fois son rayon de Schwarzschild[10].

L'éponyme du théorème de Buchdahl[11],[12] est Hans A. Buchdahl (en) (1919-2010) qui a mis l'inégalité en évidence en [12],[13].

Désignations alternatives

Le théorème de Buchdahl est aussi désigné comme l'inégalité de Buchdahl (en anglais : Buchdahl inequality[14]) et comme la limite de Buchdahl (Buchdahl limit[15]).

Expressions

L'inégalité s'écrit :

ou

,

avec :

En unités géométriques, c'est-à-dire avec :

,

l'inégalité s'écrit :

,

ou

.

Un objet qui ne vérifie pas la relation s'effondre gravitationnellement.

Hypothèses

Le théorème est basé sur les hypothèses suivantes : l'étoile est statique[16] et à symétrique sphérique[16] ; son intérieur est décrit par un fluide parfait[16] de densité d'énergie positive[16] et de pression positive[16], et dont la densité d'énergie est une fonction monotone décroissante de la coordonnée radiale [16] :

[17].

Extensions

Le théorème a été étendu afin d'inclure à la fois une charge et une constante cosmologique[18]. Il a été étendu à des espaces-temps de plus de quatre dimensions[18] incluant une constante cosmologique non nulle[18]. Il a été généralisé en gravitation en [18].

Notes et références
  1. Alho et al. 2022, résumé.
  2. André et Lemos 2021, p. ex. I, p. 2, col. 1.
  3. Beig et Schmidt 2000, sec. 5, § 5.3, p. 369.
  4. Bičák 2006, sec. 7, p. 172, col. 1.
  5. Lindblom 1984, I, p. 364, col. 1-2.
  6. Steane 2021, partie III, chap. 18, sec. 18.1, introduction, p. 252.
  7. Schwarzschild 1916a.
  8. Schwarzschild 1916b.
  9. Ayres 2016, p. 77.
  10. Ayres 2016, p. 78.
  11. Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009, chap. 12, § 12.4, p. 292-293.
  12. Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. Buchdahl (théorème de), p. 93, col. 2.
  13. Buchdahl 1959.
  14. (en) Anadijiban Das et Andrew DeBenedictis, The General Theory of Relativity: A Mathematical Exposition, New York et Londres, Springer, , XXVI-678 p. (ISBN 978-1-4614-3657-7 et 978-1-4899-8717-4), p. 252 (lire en ligne [html])
  15. (en) Thomas W. Baumgarte et Stuart L. Shapiro, Numerical Relativity : Solving Einstein's Equations on the Computer, Cambridge et New York, Cambridge University Press, , XVIII-698 p. (ISBN 978-0-521-51407-1, OCLC 496954929, lire en ligne), p. 16, n. 22 (lire en ligne [html])
  16. Ferrari, Gualtieri et Pani 2020, § 16.3.8, p. 365.
  17. Ferrari, Gualtieri et Pani 2020, § 16.3.8, p. 365 (16.231).
  18. Wright 2016, sec. 1, p. 2.

Voir aussi

Bibliographie

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Publications originales

Études

Cours d'enseignement supérieur

Dictionnaires et encyclopédies

Articles connexes
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