Produit scalaire canonique

On appelle produit scalaire canonique de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ l'application qui, aux vecteurs ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ et ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ associe la quantité :

${\displaystyle (x\mid y)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}$.

Sur ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, on considère le produit scalaire hermitien canonique donné par la formule :

${\displaystyle (x\mid y)=\sum _{i=1}^{n}{\bar {x_{i}}}y_{i}}$.

Dans certains espaces de fonctions (fonctions continues sur un segment ou fonctions de carré sommable, par exemple), le produit scalaire canonique est donné par la formule :

${\displaystyle (f\mid g)=\int {\bar {f}}g}$.

Dans l'espace des matrices carrées de dimension ${\displaystyle n}$ à coefficients réels, le produit scalaire usuel est :

${\displaystyle (M\mid N)=\textstyle {Tr}(M{}^{T}N)}$

où ${\displaystyle Tr}$ désigne la trace.

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