Méthode de Badal

On utilise deux lentilles convergentes ${\displaystyle L_{1}}$ et ${\displaystyle L_{2}}$ de foyers objets respectifs ${\displaystyle F_{1}}$ et ${\displaystyle F_{2}}$, et de foyers images respectifs ${\displaystyle F_{1}'}$ et ${\displaystyle F_{2}'}$.

On met un objet A sur l'axe optique au foyer objet ${\displaystyle F_{1}}$ de la première lentille ${\displaystyle L_{1}}$. Son image se trouve en ${\displaystyle A'=F_{2}'}$, le foyer image de ${\displaystyle L_{2}}$:

${\displaystyle A=F_{1}\longrightarrow \infty \longrightarrow A'=F_{2}'}$.

On intercale entre les deux lentilles convergentes la lentille divergente ${\displaystyle L}$ de focale inconnue au foyer objet ${\displaystyle F_{2}}$ de ${\displaystyle L_{2}}$.

La nouvelle image de ${\displaystyle A}$ se trouve en ${\displaystyle A''}$:

${\displaystyle A=F_{1}\longrightarrow \infty \longrightarrow F'\longrightarrow A''}$.

Pour déterminer la focale inconnue ${\displaystyle f'}$ de la lentille divergente, il suffit ensuite de mesurer la distance ${\displaystyle {A'A''}}$ entre les deux images successives, et de se souvenir de la focale de la seconde lentille convergente (${\displaystyle f'_{2}=O_{2}A'}$), en utilisant la relation:

${\displaystyle f'={\frac {{-f'_{2}}^{2}}{\overline {A'A''}}}}$

Dans le montage contenant la lentille divergente, l'image de ${\displaystyle A}$ par ${\displaystyle L_{1}}$ se trouve à l'infini, qui a elle-même comme image ${\displaystyle F'}$ par la lentille divergente.

Si l'on se restreint à la lentille ${\displaystyle L_{2}}$, F' est l'objet et ${\displaystyle A''}$ l'image:

${\displaystyle F'\longrightarrow A''}$.

Schéma explicatif sur la conjugaison par la seconde lentille convergente dans la méthode de Badal

Les formules de conjugaison de Newton donnent une relation entre les positions sur l'axe optique d'un objet B et de son image B' par rapport aux foyers ${\displaystyle F_{2}}$ et ${\displaystyle F'_{2}}$ de la lentille ${\displaystyle L_{2}}$. Elles sont exprimées avec des distances algébriques.

Soit B un point de l'axe optique et B' son image par la lentille ${\displaystyle L_{2}}$:

${\displaystyle {\overline {F'_{2}B'}}.{\overline {F_{2}B}}=-{f'_{2}}^{2}}$

Cette formule donne dans notre cas (${\displaystyle B=F'}$ et ${\displaystyle B'=A''}$): ${\displaystyle {\overline {F'_{2}A''}}.{\overline {F_{2}F'}}=-{f'_{2}}^{2}}$.

Or ${\displaystyle F'_{2}=A'}$, la première position de l'image, et ${\displaystyle {\overline {F_{2}F'}}=f'}$, la focale inconnue.

Aussi, ${\displaystyle {\overline {A'A''}}.f'=-{f'_{2}}^{2}}$, qui devient:

${\displaystyle f'=-{\frac {{f'_{2}}^{2}}{A'A''}}}$.

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