Loi inverse-gamma

• Si ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )}$ et ${\displaystyle \alpha ={\frac {\nu }{2}},\beta ={\frac {1}{2}}}$ alors ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-chi-square}}(\nu )\,}$ est une loi inverse-χ²;
• Si ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(k,\theta )\,}$, alors ${\displaystyle 1/X\sim {\mbox{Gamma}}(k,1/\theta )\,}$ la loi Gamma de paramètre de forme ${\displaystyle k}$ et de paramètre d'échelle ${\displaystyle 1/\theta }$ (ou de manière équivalente, d'intensité ${\displaystyle \theta }$);
• Une généralisation multivariée de la loi inverse-gamma est la loi de Wishart inverse.

La densité de la loi Gamma est

${\displaystyle f(x)=x^{k-1}{\frac {\mathrm {e} ^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}}}$

et définissons la transformation ${\displaystyle Y=g(X)={\frac {1}{X}}}$. La densité de la transformée est alors

${\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}\left(g^{-1}(y)\right)\left|{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}g^{-1}(y)\right|}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{k-1}\exp \left({\frac {-1}{\theta y}}\right){\frac {1}{y^{2}}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{k+1}\exp \left({\frac {-1}{\theta y}}\right)}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}y^{-k-1}\exp \left({\frac {-1}{\theta y}}\right)}$

Remplaçant ${\displaystyle k}$ par ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \theta ^{-1}}$ par ${\displaystyle \beta }$ et enfin ${\displaystyle y}$ par ${\displaystyle x}$ donne la densité donnée plus haut :

${\displaystyle f(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{-\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{x}}\right)}$

• La loi du temps de premier contact (en) dans un processus de Wiener est une distribution de Lévy, qui est une loi inverse-gamma de paramètre ${\displaystyle \alpha =0,5}$[1]

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