Enveloppe supérieure

En mathématiques, l'enveloppe supérieure d'une famille de fonctions définies sur un même ensemble E et à valeurs dans ℝ est la fonction sur E dont la valeur en tout point x de E est la borne supérieure des valeurs en x de ces fonctions.

Définition

L'enveloppe supérieure d'une famille $(f_{i})_{i\in I}$ d'applications d'un ensemble $E$ dans la droite réelle achevée ${\overline {\mathbb {R} }}$ est l'application

\sup _{i\in I}{f_{i}}:E\to {\overline {\mathbb {R} }},\quad x\mapsto \sup _{i\in I}\left(f_{i}(x)\right)

.

La notation $\sup _{i\in I}f_{i}$ est justifiée par le fait[1] que l'enveloppe supérieure de la famille $(f_{i})_{i\in I}$ n'est autre que sa borne supérieure, dans le treillis complet[2] ${\overline {\mathbb {R} }}^{E}$ des applications de $E$ dans ${\overline {\mathbb {R} }}$ .

On définit de même l'enveloppe inférieure avec $\inf$ [3].

Propriétés

Avec les notations précédentes, l'épigraphe[4] de l'enveloppe supérieure de la famille $(f_{i})_{i\in I}$ $(f_{i})_{i\in I}$ est l'intersection des épigraphes des $f_{i}$ $f_{i}$ : $\operatorname {epi} \left(\sup _{i\in I}f_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}{\operatorname {epi} {f_{i}}}$ .On en déduit que :
- $\sup _{i\in I}f_{i}$ est convexe si $E$ est un ℝ-espace vectoriel et si les $f_{i}$ sont convexes ;
- $\sup _{i\in I}f_{i}$ est « fermée » (c'est-à-dire semi-continue inférieurement) si $E$ est un espace topologique et si les $f_{i}$ sont fermées.
Soit $E$ un espace localement convexe séparé. Une fonction de $E$ dans $\mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ est convexe et fermée (si et) seulement si elle est l'enveloppe supérieure de ses minorantes affines continues[5].

Notes et références

N. Bourbaki, Topologie générale, 1971 (lire en ligne), IV.21.
L'ordre naturel sur ${\overline {\mathbb {R} }}^{E}$ est l'ordre produit : $f\leq g\Leftrightarrow \forall x\in E\quad f(x)\leq g(x)$ .
Jacques Dixmier, Topologie générale, Paris, PUF, 1981, p. 97.
L'épigraphe d'une application $f:E\to {\overline {\mathbb {R} }}$ est l'ensemble $\operatorname {epi} f:=\{(x,t)\in E\times \mathbb {R} \mid f(x)\leq t\}$ .
(en) Charalambos D. Aliprantis et Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis : A Hitchhiker's Guide, Springer, 2007, 3^e éd. (1^re éd. 1999) (lire en ligne), p. 251.

Bibliographie

(en) J. M. Borwein et A. S. Lewis, Convex Analysis and Nonlinear Optimization, New York, Springer, 2006, 2^e éd. (1^re éd. 2000) (lire en ligne)
(en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer, 2004 (1^re éd. 2001), 259 p. (ISBN 978-3-540-42205-1, lire en ligne)
(en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, coll. « Princeton Mathematical Ser. » (n^o 28), 1970 (lire en ligne)

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[1] N. Bourbaki, Topologie générale, 1971 (lire en ligne), IV.21.

[2] L'ordre naturel sur ${\overline {\mathbb {R} }}^{E}$ est l'ordre produit : $f\leq g\Leftrightarrow \forall x\in E\quad f(x)\leq g(x)$ .

[3] Jacques Dixmier, Topologie générale, Paris, PUF, 1981, p. 97.

[4] L'épigraphe d'une application $f:E\to {\overline {\mathbb {R} }}$ est l'ensemble $\operatorname {epi} f:=\{(x,t)\in E\times \mathbb {R} \mid f(x)\leq t\}$ .

[5] (en) Charalambos D. Aliprantis et Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis : A Hitchhiker's Guide, Springer, 2007, 3^e éd. (1^re éd. 1999) (lire en ligne), p. 251.