Loi zêta

Soit ${\displaystyle \epsilon >0}$, posons pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,c_{n}=\operatorname {Card} (A\cap \{1,\dots ,n\})}$ on a par hypothèse que ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {c_{n}}{n}}=d(A)}$, donc on peut poser ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ tel que ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,n\geq n_{0}\Rightarrow \left|{\frac {c_{n}}{n}}-d(A)\right|\leq \epsilon .}$
On écrit alors ${\displaystyle \mathbb {P} _{s}(X\in A)={\frac {\sum _{a\in A}{\frac {1}{a^{s}}}}{\zeta (s)}}={\frac {\sum _{\underset {a<n_{0}}{a\in A}}{\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{\underset {a\geq n_{0}}{a\in A}}{\frac {1}{a^{s}}}}{\zeta (s)}}}$
On s'intéresse au terme ${\displaystyle \sum _{\underset {a\geq n_{0}}{a\in A}}{\frac {1}{a^{s}}}}$, on a : ${\displaystyle \sum _{\underset {a\geq n_{0}}{a\in A}}{\frac {1}{a^{s}}}=\sum _{\underset {a\geq n_{0}}{a\in A}}{\frac {c_{a}^{s}}{c_{a}^{s}a^{s}}}\leq \sum _{\underset {a\geq n_{0}}{a\in A}}{\frac {(d(A)+\epsilon )^{s}}{c_{a}^{s}}}}$ car la variable muette a est supérieure à ${\displaystyle n_{0}.}$
Sans nuire à la généralité, supposons A infini (le cas A fini est trivial), écrivons alors ${\displaystyle A=\{a_{0},a_{1},\dots \}}$. Il s'ensuit alors que pour ${\displaystyle m\in \mathbb {N} ,c_{a_{m}}=m}$. posons alors ${\displaystyle n_{1}=\operatorname {min} (\{m\in \mathbb {N} ,a_{m}\geq n_{0}\}).}$
On a donc ${\displaystyle {\frac {\sum _{\underset {a\geq n_{0}}{a\in A}}{\frac {1}{c_{a}^{s}}}}{\zeta (s)}}={\frac {\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{s}}}-\sum _{m=1}^{n_{1}-1}{\frac {1}{m^{s}}}}{\zeta (s)}}={\frac {\zeta (s)-\sum _{m=1}^{n_{1}-1}{\frac {1}{m^{s}}}}{\zeta (s)}}=1-{\frac {\sum _{m=1}^{n_{1}-1}{\frac {1}{m^{s}}}}{\zeta (s)}}{\underset {s\rightarrow 1^{+}}{\longrightarrow }}1}$, d'où ${\displaystyle \mathbb {P} _{s}(X\in A)\leq {\frac {\sum _{\underset {a<n_{0}}{a\in A}}{\frac {1}{a^{s}}}}{\zeta (s)}}+(d(A)+\epsilon )^{s}\left(1-{\frac {\sum _{m=1}^{n_{1}-1}{\frac {1}{m^{s}}}}{\zeta (s)}}\right){\underset {s\rightarrow 1^{+}}{\longrightarrow }}d(A)+\epsilon }$
On fait alors de même à gauche et on trouve pour s assez proche de 1 que ${\displaystyle d(A)-2\epsilon \leq \mathbb {P} _{s}(X\in A)\leq d(A)+2\epsilon }$, ainsi :${\displaystyle \mathbb {P} _{s}(X\in A){\underset {s\rightarrow 1^{+}}{\longrightarrow }}d(A)}$