Anneau de cohomologie

En mathématiques, plus précisément en topologie algébrique, l'anneau de cohomologie d'un espace topologique X est un anneau composé des groupes de cohomologie de X, et dont l'opération de multiplication est le cup-produit. Dans ce cadre, la 'cohomologie' désigne généralement la cohomologie singulière, mais la structure d'anneau est aussi présente dans d'autres théories, comme la cohomologie de De Rham. Il est également fonctoriel : on peut trouver un morphisme d'anneaux continue, lequel est contravariant.

Soit ${\displaystyle H^{k}(X,R)}$ une suite de groupes de cohomologie sur ${\displaystyle X}$ à coefficients dans un anneau commutatif ${\displaystyle R}$ (par exemple, on peut prendre ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n},\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} ...}$). On peut alors définir le cup-produit :

${\displaystyle H^{k}(X;R)\times H^{\ell }(X;R)\to H^{k+\ell }(X;R).}$

Le cup-produit donne une opération de multiplication sur la somme directe des groupes de cohomologie.

${\displaystyle H^{\bullet }(X;R)=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H^{k}(X;R).}$

Muni de cette opération de multiplication, ${\displaystyle H^{\bullet }(X,R)}$ devient un anneau. En fait, c'est même une algèbre ${\displaystyle \mathbb {N} }$-graduée, de degré ${\displaystyle k}$.

L'anneau de cohomologie est gradué-commutatif, au sens où ses éléments commutent au signe près, lequel est déterminé par leur degré. Plus précisément, pour des éléments de degrés ${\displaystyle k,l}$, on a :

${\displaystyle (\alpha ^{k}\smile \beta ^{\ell })=(-1)^{k\ell }(\beta ^{\ell }\smile \alpha ^{k}).}$

Un invariant numérique dérivé de l'anneau de cohomologie est la longueur de cup, qui désigne le nombre maximal d'éléments gradués de degrés supérieurs à 1 qui ne s'annulent pas lorsque multipliés. Par exemple, un espace projectif complexe a une longueur de cup égale à sa dimension.