Soustraction

Soit (G, +) un groupe abélien (ou commutatif). On définit une nouvelle loi de composition interne dans G, appelée « soustraction » et notée « − » par : ${\displaystyle x-y=x+(-y)}$. où ${\displaystyle -y}$ est l'opposé de ${\displaystyle y}$.

La soustraction est

• anticommutative: pour tout x et tout y, y - x = - (x - y)
• n'est pas associative
• possède un élément neutre uniquement à droite : pour tout x, x - 0 = x, mais en général 0 - x ≠ x
• Tous les éléments du groupe sont involutifs : pour tout x, x - x = 0 .

Le défaut de cette définition est d'utiliser le même signe, à savoir −,

1. pour l'opposé ${\displaystyle -y}$ de ${\displaystyle y}$ et
2. pour l'opération binaire ${\displaystyle x-y}$

Ici nous travaillons dans (ℤ, +) des nombres entiers relatifs.

Formellement, la soustraction est une loi de composition interne sur un ensemble, notée − à condition toutefois que la soustraction soit toujours définie (ce qui n'est, par exemple, pas le cas dans l'ensemble ℕ des entiers naturels). Cette loi de composition interne (quand elle existe) n'est cependant pas très intéressante car

• elle n'est pas commutative. En effet a − b et b − a sont en général différents
• elle n'est pas associative. En effet (a − b) − c et a − (b − c) sont en général différents
• elle ne possède pas d'élément neutre. En effet, le seul élément neutre possible serait 0 et l'on a

a − 0 = a, mais en général

0 − a est différent de a.

C'est la raison pour laquelle on préfère considérer une soustraction comme l'ajout (somme) de l'opposé, à condition évidemment que cet opposé existe (ce n'est pas toujours le cas dans ℕ).

L'opposé de a est le nombre noté (−a) qui, ajouté à a, donne 0 : a + (−a) = 0

a − b peut alors s'écrire a + (−b)